1. 背景与问题描述在自动驾驶、机器人导航和雷达监视等领域，传感器（如激光雷达）会同时捕获目标多个表面点的测量。这类问题称为扩展目标跟踪（Extended Object Tracking, EOT）。与点目标不同，扩展目标不仅需要估计位置和速度，还需在线学习目标的形状。传统方法通常假设目标为已知几何体（如椭圆、矩形），但在实际中目标形状多变且未知。本文介绍一种基于高斯过程（Gaussian Process, GP）的非参数化形状模型，联合估计目标的运动状态和三维形状。该算法无需先验形状模板，能够自适应地拟合任意星形凸物体。我们将详细推导数学公式，并展示完整的MATLAB实现（包含两种三维扩展方案）。2. 星形凸假设与径向函数假设目标表面相对于其质心是星形凸的：从质心出发的任意射线与表面有且仅有一个交点。因此，形状可由一个径向函数r(u)r(\mathbf{u})r(u)唯一描述，其中u\mathbf{u}u表示方向：对于三维直接模型：u=(θ,ϕ)\mathbf{u}=(\theta,\phi)u=(θ,ϕ)，分别为球坐标系中的方位角（0∼2π0\sim2\pi0∼2π）和俯仰角（0∼π0\sim\pi0∼π）。对于投影降维模型：u=θ\mathbf{u}=\thetau=θ，为二维投影平面上的极角（0∼2π0\sim2\pi0∼2π）。函数值r(u)r(\mathbf{u})r(u)表示从中心沿该方向到表面的距离。3. 高斯过程先验赋予径向函数一个高斯过程先验：r(u)∼GP(μ(u), k(u,u′)) r(\mathbf{u}) \sim \mathcal{GP}\left(\mu(\mathbf{u}),\, k(\mathbf{u},\mathbf{u}')\right)r(u)∼GP(μ(u),k(u,u′))其中μ(u)\mu(\mathbf{u})μ(u)为均值函数（通常取常数0），k(⋅,⋅)k(\cdot,\cdot)k(⋅,⋅)为协方差核函数，编码了我们关于形状平滑性和周期性的先验知识。在离散实现中，我们在NNN个基角度{ ui}i=1N\{\mathbf{u}_i\}_{i=1}^N{ui}i=1N上考虑向量f=[r(u1),…,r(uN)]⊤\mathbf{f}=[r(\mathbf{u}_1),\dots,r(\mathbf{u}_N)]^\topf=[r(u1),…,r(uN)]⊤，其先验为：f∼N(μf, Kff) \mathbf{f} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_f,\; \mathbf{K}_{ff})f∼N(μf,Kff)其中[Kff]ij=k(ui,uj)[\mathbf{K}_{ff}]_{ij}=k(\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_j)[Kff]ij=k(ui,uj)。核函数选择（以周期平方指数核为例）：k(u,u′)=σf2exp(−2sin2(∥u−u′∥/2)ℓ2)+σr2δu,u′ k(\mathbf{u},\mathbf{u}') = \sigma_f^2 \exp\left(-\frac{2\sin^2(\|\mathbf{u}-\mathbf{u}'\|/2)}{\ell^2}\right) + \sigma_r^2 \delta_{\mathbf{u},\mathbf{u}'}k(u,u′)=σf2exp(−ℓ22sin2(∥u−u′∥/2))+σr2δu,u′其中σf2\sigma_f^2σf2为信号方差，ℓ\ellℓ为长度尺度，σr2\sigma_r^2σr2为半径噪声方差。MATLAB实现（支持二维球面和一维角度）：functioncovMatrix=compute_GP_covariance(argArray1,argArray2,paramGP)kernelType=paramGP{1};stdPrior=paramGP{2};stdRadius=paramGP{3};scaleLength=paramGP{4};isSymmetric=paramGP{5};diffMatrix=compute_diffence_matrix(argArray1,argArray2);ifkernelType==1ifisSymmetric% 对称物体，周期为πcovMatrix=stdPrior^2*exp(-sin(diffMatrix).^2/(2*scaleLength^2))+stdRadius^2;elsecovMatrix=stdPrior^2*exp(-2*sin(diffMatrix/2).^2/scaleLength^2)+stdRadius^2;endelseifkernelType==2% Matern 3/2covMatrix=stdPrior^2*(1+sqrt(3)/scaleLength*diffMatrix).*exp(-sqrt(3)/scaleLength*diffMatrix);elseifkernelType==3% Matern 5/2covMatrix=stdPrior^2*(1+sqrt(5)/scaleLength*diffMatrix+5/(3*scaleLength^2)*diffMatrix.^2)....*exp(-sqrt(5)/scaleLength*diffMatrix);endend4. 状态空间模型我们构建一个包含运动状态和形状状态的大状态向量：x=[cvαωf] \mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{c} \\ \mathbf{v} \\ \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{\omega} \\ \mathbf{f} \end{bmatrix}x=
1. 背景与问题描述在自动驾驶、机器人导航和雷达监视等领域，传感器（如激光雷达）会同时捕获目标多个表面点的测量。这类问题称为扩展目标跟踪（Extended Object Tracking, EOT）。与点目标不同，扩展目标不仅需要估计位置和速度，还需在线学习目标的形状。传统方法通常假设目标为已知几何体（如椭圆、矩形），但在实际中目标形状多变且未知。本文介绍一种基于高斯过程（Gaussian Process, GP）的非参数化形状模型，联合估计目标的运动状态和三维形状。该算法无需先验形状模板，能够自适应地拟合任意星形凸物体。我们将详细推导数学公式，并展示完整的MATLAB实现（包含两种三维扩展方案）。2. 星形凸假设与径向函数假设目标表面相对于其质心是星形凸的：从质心出发的任意射线与表面有且仅有一个交点。因此，形状可由一个径向函数r(u)r(\mathbf{u})r(u)唯一描述，其中u\mathbf{u}u表示方向：对于三维直接模型：u=(θ,ϕ)\mathbf{u}=(\theta,\phi)u=(θ,ϕ)，分别为球坐标系中的方位角（0∼2π0\sim2\pi0∼2π）和俯仰角（0∼π0\sim\pi0∼π）。对于投影降维模型：u=θ\mathbf{u}=\thetau=θ，为二维投影平面上的极角（0∼2π0\sim2\pi0∼2π）。函数值r(u)r(\mathbf{u})r(u)表示从中心沿该方向到表面的距离。3. 高斯过程先验赋予径向函数一个高斯过程先验：r(u)∼GP(μ(u), k(u,u′)) r(\mathbf{u}) \sim \mathcal{GP}\left(\mu(\mathbf{u}),\, k(\mathbf{u},\mathbf{u}')\right)r(u)∼GP(μ(u),k(u,u′))其中μ(u)\mu(\mathbf{u})μ(u)为均值函数（通常取常数0），k(⋅,⋅)k(\cdot,\cdot)k(⋅,⋅)为协方差核函数，编码了我们关于形状平滑性和周期性的先验知识。在离散实现中，我们在NNN个基角度{ ui}i=1N\{\mathbf{u}_i\}_{i=1}^N{ui}i=1N上考虑向量f=[r(u1),…,r(uN)]⊤\mathbf{f}=[r(\mathbf{u}_1),\dots,r(\mathbf{u}_N)]^\topf=[r(u1),…,r(uN)]⊤，其先验为：f∼N(μf, Kff) \mathbf{f} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_f,\; \mathbf{K}_{ff})f∼N(μf,Kff)其中[Kff]ij=k(ui,uj)[\mathbf{K}_{ff}]_{ij}=k(\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_j)[Kff]ij=k(ui,uj)。核函数选择（以周期平方指数核为例）：k(u,u′)=σf2exp(−2sin2(∥u−u′∥/2)ℓ2)+σr2δu,u′ k(\mathbf{u},\mathbf{u}') = \sigma_f^2 \exp\left(-\frac{2\sin^2(\|\mathbf{u}-\mathbf{u}'\|/2)}{\ell^2}\right) + \sigma_r^2 \delta_{\mathbf{u},\mathbf{u}'}k(u,u′)=σf2exp(−ℓ22sin2(∥u−u′∥/2))+σr2δu,u′其中σf2\sigma_f^2σf2为信号方差，ℓ\ellℓ为长度尺度，σr2\sigma_r^2σr2为半径噪声方差。MATLAB实现（支持二维球面和一维角度）：functioncovMatrix=compute_GP_covariance(argArray1,argArray2,paramGP)kernelType=paramGP{1};stdPrior=paramGP{2};stdRadius=paramGP{3};scaleLength=paramGP{4};isSymmetric=paramGP{5};diffMatrix=compute_diffence_matrix(argArray1,argArray2);ifkernelType==1ifisSymmetric% 对称物体，周期为πcovMatrix=stdPrior^2*exp(-sin(diffMatrix).^2/(2*scaleLength^2))+stdRadius^2;elsecovMatrix=stdPrior^2*exp(-2*sin(diffMatrix/2).^2/scaleLength^2)+stdRadius^2;endelseifkernelType==2% Matern 3/2covMatrix=stdPrior^2*(1+sqrt(3)/scaleLength*diffMatrix).*exp(-sqrt(3)/scaleLength*diffMatrix);elseifkernelType==3% Matern 5/2covMatrix=stdPrior^2*(1+sqrt(5)/scaleLength*diffMatrix+5/(3*scaleLength^2)*diffMatrix.^2)....*exp(-sqrt(5)/scaleLength*diffMatrix);endend4. 状态空间模型我们构建一个包含运动状态和形状状态的大状态向量：x=[cvαωf] \mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{c} \\ \mathbf{v} \\ \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{\omega} \\ \mathbf{f} \end{bmatrix}x=
