对右侧函数 $g(x) x^2 1$ 来说逻辑和前面是类似的它在 $x 0$ 的区间内可导是因为它属于**基本初等函数多项式函数**而这类函数在各自的定义域内都是天然处处可导的。我们可以同样从**几何直观**和**极限定义**两个维度来理解为什么它必然可导---#### 1. 从几何直观来看平滑的抛物线$g(x) x^2 1$ 的图像是一条标准开口向上的**抛物线**顶点在 $(0, 1)$。* 曲线在 $x 0$ 的区域内是非常**平滑Smooth**的没有任何断裂保证了连续性也没有任何尖角或折点。* 在这上面任意取一点您都能画出一条唯一确定的、不垂直于 $x$ 轴的切线。* 因为切线的斜率在区间内任意一点都存在且唯一所以它在这个区间内是处处可导的。---#### 2. 从数学定义来看极限证明如果我们用导数的严格定义来计算它在任意一点 $x$ 处的导数 $g(x)$$$g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x \Delta x) - g(x)}{\Delta x}$$将 $g(x) x^2 1$ 代入公式中$$g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[(x \Delta x)^2 1] - [x^2 1]}{\Delta x}$$展开分子$$g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 2x\Delta x (\Delta x)^2 1 - x^2 - 1}{\Delta x}$$消去相同的项$x^2$ 和 $1$$$g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x (\Delta x)^2}{\Delta x}$$分子分母同时约去 $\Delta x$因为 $\Delta x \to 0$ 但不等于 $0$$$g(x) \lim_{\Delta x \to 0} (2x \Delta x)$$当 $\Delta x$ 趋近于 $0$ 时结果就是$$g(x) 2x$$这个极限结果 $2x$ 是一个**确定的、有限的实数**。只要 $x$ 是一个具体的数在右侧区间内 $x 0$这个导数值就唯一存在。因此根据定义它在右侧是完全可导的。---#### 把握书中的整体意图书里把这两段拿出来说意思是1. **左边$x 0$**是一条水平线不用怀疑肯定可导。2. **右边$x 0$**是一段抛物线不用怀疑肯定可导。既然左右两边各自的内部都绝对安全可导那么唯一的“视觉盲区”和可能出问题的地方就只剩下 **$x 0$ 这个拼接点**了。所以书本接下来的核心任务就是去用极限和导数定义单独检验在 $x 0$ 处左边过来的斜率左导数和右边过去的斜率右导数能不能完美对上。
对右侧函数 $g(x) x^2 1$ 来说逻辑和前面是类似的它在 $x 0$ 的区间内可导是因为它属于**基本初等函数多项式函数**而这类函数在各自的定义域内都是天然处处可导的。我们可以同样从**几何直观**和**极限定义**两个维度来理解为什么它必然可导---#### 1. 从几何直观来看平滑的抛物线$g(x) x^2 1$ 的图像是一条标准开口向上的**抛物线**顶点在 $(0, 1)$。* 曲线在 $x 0$ 的区域内是非常**平滑Smooth**的没有任何断裂保证了连续性也没有任何尖角或折点。* 在这上面任意取一点您都能画出一条唯一确定的、不垂直于 $x$ 轴的切线。* 因为切线的斜率在区间内任意一点都存在且唯一所以它在这个区间内是处处可导的。---#### 2. 从数学定义来看极限证明如果我们用导数的严格定义来计算它在任意一点 $x$ 处的导数 $g(x)$$$g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x \Delta x) - g(x)}{\Delta x}$$将 $g(x) x^2 1$ 代入公式中$$g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[(x \Delta x)^2 1] - [x^2 1]}{\Delta x}$$展开分子$$g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 2x\Delta x (\Delta x)^2 1 - x^2 - 1}{\Delta x}$$消去相同的项$x^2$ 和 $1$$$g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x (\Delta x)^2}{\Delta x}$$分子分母同时约去 $\Delta x$因为 $\Delta x \to 0$ 但不等于 $0$$$g(x) \lim_{\Delta x \to 0} (2x \Delta x)$$当 $\Delta x$ 趋近于 $0$ 时结果就是$$g(x) 2x$$这个极限结果 $2x$ 是一个**确定的、有限的实数**。只要 $x$ 是一个具体的数在右侧区间内 $x 0$这个导数值就唯一存在。因此根据定义它在右侧是完全可导的。---#### 把握书中的整体意图书里把这两段拿出来说意思是1. **左边$x 0$**是一条水平线不用怀疑肯定可导。2. **右边$x 0$**是一段抛物线不用怀疑肯定可导。既然左右两边各自的内部都绝对安全可导那么唯一的“视觉盲区”和可能出问题的地方就只剩下 **$x 0$ 这个拼接点**了。所以书本接下来的核心任务就是去用极限和导数定义单独检验在 $x 0$ 处左边过来的斜率左导数和右边过去的斜率右导数能不能完美对上。
